Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Cayley-Hamiltoni teoreem
Järgmine: LINEAARALGEBRA ARVUTUSMEETODID

Olgu antud maatriks ja kompleksmuutuja funktsioon

On palju võimalusi maatriksargumendiga funktsiooni f(A) defineerimiseks, lähtudes kompleksmuutuja funktsioonist f(z). Lihtsaim neist võimalustest tundub olema muutuja "z" vahetu asendamine muutujaga "A". Näiteks,

ja

ning







Osutub, et paljude probleemide lahendamisel ei ole selline lähenemine otstarbekas.

Definitsioon 2.9.1. Kui ja f(z) on analüütiline lahtises piirkonnas ning on kinnine lihtne joon (ei lõika iseennast) piirkonnas ja maatriksi A spekter sisaldub joone poolt hõlmatavas piirkonnas siis
 
kusjuures integraali maatriksile rakendatakse elementide kaupa.

Märkus 2.9.1. Valem (28) on kompleksmuutuja funktsioonide korral tõestatud Cauchy' integraalvalemi analoog.

Näide 2.9.1. Olgu f(z)=z ja Uurime, kuidas toimub arvutamine eeskirja (28) põhjal. Kuna maatriksi A omaväärtusteks on ja siis valime joone kus Funktsioon f(z)=z on analüütiline piirkonnas Leiame esiteks,



ja siis,

Lause 2.9.1. Kui siis

kusjuures on ruumi vektor, mille k-s komponent on üks ja ülejäänud on nullid.

Tõestus. Olgu siis

Kuna maatriksit integreeritakse elementide kaupa, siis saame, et

Lause 2.9.2. Kui ja st on rahuldatud definitsioonis 2.9.1 esitatud tingimused, ning
 
siis
 

Tõestus. Seoste (28) , (29) ja XX^-1=I põhjal leiame, et







Kuna

ja





siis

mida oligi vaja tõestada.

Lause 2.9.3. Kui ja on maatriksi A Jordani normaalkuju, kusjuures

on Jordani blokk ning ja f(z) on analüütiline lahtisel hulgal, mis sisaldab maatriksi A spektrit siis
 
kusjuures
 

Tõestus. Lause 2.9.2 põhjal piisab uurida vaid väärtust F(G), kus on Jordani blokk ja Olgu maatriks zI-G regulaarne. Kuna

siis

ja



ning arvestades tingimust peab paika lause väide.

Näide 2.9.2. Leida kui

Kuna ja funktsioon on analüütiline punkti 0 ümbruses, siis on väärtuse leidmiseks rakendatav lauses 2.9.3 esitatud algoritm. Kasutame maatriksi A Jordani lahutuse leidmiseks paketti ''Maple'':

Järelikult, J=diag(J₁,J₂), kusjuures

Leiame, esiteks, valemi (3) abil maatriksid ja :

ja

Seejärel leiame valemi (2) abil meid huvitava maatriksi:

Järeldus 2.9.1. Kui ja ning siis

Tõestus. Tegemist on lause 2.9.3 erijuhuga, kus kõik Jordani blokid on

Näide 2.9.3. Kui maatriksi omaväärtused on ja on neile vastavad lineaarselt sõltumatud omavektorid, st moodustavad baasi (nn maatriksi A omabaasi) ruumis siis ja funktsioonide analüütilisusest kogu komplekstasandi lõplikus osas järeldub, et

kusjuures ja

Vaatleme järgnevalt probleemi, mis tekib funktsiooni f(A) lähendamisel funktsiooniga g(A). Sellist laadi probleem tekib näiteks f(A) asendamisel tema q-astme Taylori polünoomiga.

Lause 2.9.4. Kui ja kusjuures

on Jordani blokk ning ja funktsioonid f(z) ja g(z) on analüütilised lahtisel hulgal, mis sisaldab maatriksi A spektrit siis
 

Tõestus. Kui valida h(z)=f(z)-g(z), siis



Lause 2.9.3 ja võrratuse abil leiame, et

ning seega peab paika lause väide.

Näide 2.9.4. Olgu

Hindame vahet

Kuna ja funktsioonid ning g(z)=z on analüütilised punkti 0.1 ümbruses, siis võime kasutada lauses 2.9.4 saadud hinnangut (33). Esiteks, kasutame paketti ''Maple'' maatriksi A Jordani lahutuse leidmiseks:

Järelikult, maatriksi A Jordani lahutuses on vaid üks Jordani blokk, st

Teiseks, leiame paketi ''Maple'' abil maatriksi X konditsiooniarvu:

Kuna

ja

siis hinnangu (30) abil leiame, et

On teada, et maatriksi A Jordani lahutuses esinev maatriks X pole üheselt määratud. Üritame valida maatriksi X nii, et konditsiooniarv k₂(X) oleks minimaalne. Kasutades maatriksi A Jordani lahutuse leidmiseks Filipovi algoritmi (vaadake lauset 2.5.2.1), saame, et

kusjuures

Osutub, et maatriksi A Jordani lahutuseks on ka

kusjuures

Seega parim hinnang, mida saame lause 2.9.4 abil, on

Teisalt, selle näite korral on rakendatav lauses 2.9.3 esitatud algoritm väärtuse leidmiseks. Kasutades valemit (32), saame, et



Valemi (31) abil arvutame meid huvitava funktsiooni väärtuse:



Järelikult,



ja

Antud näite tulemusena võib väita, et lauses 2.9.5 tõestatud hinnang (33) on antud näite korral suhteliselt jäme.

Lause 2.9.5. Kui funktsiooni f(z) Maclaurini arendus

koondub ringis, mis sisaldab maatriksi spektrit siis

Tõestame selle väite täiendaval lisatingimusel, et maatriksil A leidub omavektoreist koosnev baas. Siis järelduse 2.9.1 põhjal

Lause 2.9.6. Kui funktsiooni f(z) Maclaurini arendus

koondub ringis, mis sisaldab maatriksi spektrit siis

Tõestus. Defineerime maatriksi E(s) seosega
 
Kui , siis on analüütiline ja seega,
 
kusjuures Võrreldes muutuja s astmeid seostes (34) ja (35), leiame, et omab kuju

Kui siis

Ülesanne 2.9.1. Näidake, et suvalise maatriksi korral

ja

Ülesanne 2.9.2. Rakendage lauset 2.9.6 vea hindamisel ligikaudsete seoste

ja

korral.

Lause 2.9.7 (Sylvesteri teoreem). Kui maatriksi kõik omaväärtused on erinevad, siis
 
või

 
kus on determinant, mis on saadud Vandermonde'i determinandist

asendades k-nda reavektori

vektoriga

Näide 2.9.4. Leida kui
Leiame kõigepealt maatriksi A omaväärtused

ja siis kasutame valemit (36)



ning kasutates valemit (37)

Sama probleemi lahendame samuti valemi kus S on maatriksi A omavektoreist koostatud maatriks. Leiame A omavektorid

ja

ning maatriksi

Seega

Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Cayley-Hamiltoni teoreem
Järgmine: LINEAARALGEBRA ARVUTUSMEETODID