Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Schuri lahutus
Järgmine: Cayley-Hamiltoni teoreem

Definitsioon 2.7.1. Kujutust nimetatakse maatriksi normeerimiseks ja saadud väärtusi maatriksi normiks, kui on täidetud järgmised kolm tingimust:

Maatriksi normi tähistatakse

Lineaaralgebras on enamkasutatavateks maatriksi normideks Frobeniuse norm,
 
ja p-normid
 
Valemist (23) järeldub, et

ehk
 
Kontrollime p-normi korral maatriksi normi tingimuste täidetust. Leiame, et







ja





ning

Ülesanne 2.7.1. Kontrollige Frobeniuse normi korral maatriksi normi tingimuste täidetust.

Ülesanne 2.7.2.^* Arvutage maatriksi A Frobeniuse norm kui

Definitsioon 2.7.2. Fikseeritud maatriksi normi korral regulaarsele ruutmaatriksile vastavaks konditsiooniarvuks nimetatakse suurust

Frobeniuse normile vastavat konditsiooniarvu tähistatakse k_F(A) ja p-normile vastavat konditsiooniarvu tähistatakse k_p(A). Singulaarse ruutmaatriksi korral defineeritakse

Ülesanne 2.7.2. Näidake, et kui siis

Lause 2.7.1. Normi leidmise eeskiri (23) on teisendatav kujule
 

Tõestus. Kasutades normi kolmandat omadust ja homogeensust vektori korrutamisel maatriksiga, saame

kusjuures

Lause 2.7.2. Kui , ja siis

Tõestus. Seoste (24) ja (25) abil leiame, et

Märkus 2.7.1. Et siis alati .

Märkus 2.7.2. Iga ja korral ning suvalise vektori normi korral ruumis ja korral ruumis peab paika seos

kusjuures maatriksi norm on defineeritud valemiga

Kuna hulk on kompaktne ja on pidev, siis

kusjuures ja

Definitsioon 2.7.3. Kui k(A) on suhteliselt väike, siis maatriksit A nimeta-takse hea konditsiooniga maatriksiks, kui aga k(A) on suur, siis halva konditsiooniga maatriksiks.

Definitsioon 2.7.4. Ruutmaatriksi A normi nimetatakse kooskõlas olevaks vektori normiga kui

ja ta on submultiplikatiivne, so

Definitsioon 2.7.5. Vektori normiga kooskõlas olevat ruutmaatriksi normi nimetatakse vektori normile alluvaks, kui iga maatriksi A korral leidub selline vektor et

Lause 2.7.3. Suvalise vektori normi korral leidub vähemalt üks selle vektori normile alluv (seepärast ka vähemalt üks vektori normiga kooskõlas olev) maatriksi norm ja nimelt

Märkus 2.7.3. Mitte kõik maatriksi normid ei rahulda submultiplikatiivsuse omadust . Näiteks normi

ja maatriksite

korral ning

Lause 2.7.4. Kui , siis kehtivad maatriksi normide vahelised järgmised seosed:
 

 








Kui ja siis

Tõestame valemi (27). Leiame, et

kusjuures maksimum olgu saadud indeksi i väärtuse k korral. Saame hinnangu

Olgu

ja

Kuna siis

ning seega

Näide 2.7.1. Leiame maatriksi A normid ja , kui

Seostest (26) ja (27) leiame, et



ja

Näide 2.7.2. Leiame maatriksi A pöördmaatriksi A^-1 ja nende normid ning maatriksi A konditsiooniarvud k₁(A), , kui

Saame, et



ja

Kui valemid (26) ja (27) võimaldavad lihtsalt arvutada vastavalt 1-normi ja -normi, siis 2-normi arvutamine on keerukam. Maatriksi 2-normi nimetatakse ka maatriksi spektraalnormiks.

Lause 2.7.5. Kui siis

st on ruutjuur maatriksi A^TA suurimast omaväärtusest.

Tõestus. Normi leidmiseks leiame esiteks Seega,

Olgu Maatriks B on sümmeetriline maatriks, sest

ja







siis on n muutuja funktsioon ning



Ülesande, leida korral on tegemist tingliku ekstreemumi leidmise ülesandega. Selle lahendamiseks moodustame abifunktsiooni

Funktsiooni statsionaarsete punktide leidmiseks koostame võrrandisüsteemi:

st

ehk

Seega iga statsionaarne punkt tingliku ekstreemumi jaoks on maatriksi A^TA omaväärtusele vastav normeeritud vektor . Avaldame seosest omaväärtuse Saame, et , kusjuures Võrreldes saadud tulemust lähtevalemiga leidmiseks, näeme,et . Seega,

st on ruutjuur maatriksi A^TA suurimast omaväärtusest.

Järeldus 2.7.1. Kui maatriks on sümmeetriline, siis

Näide 2.7.3. Leiame maatriksi A pöördmaatriksi A^-1 ja nende normid ning maatriksi A konditsiooniarvud k₁(A), , kui

Saame, et

Näide 2.7.4. Vaatleme, kuidas on seotud maatriksi peaaegu singulaarsus (nullile lähedane determinandi väärtus) ja maatriksi halb konditsioon. Maatriksi

korral kuid Teisalt, diagonaalmaatriksi

korral k_p(D_n)=1, kuid kuitahes väikese korral.

Ülesanne 2.7.4. Leidke maatriksi A pöördmaatriks A^-1 ja nende normid ning maatriksi A konditsiooniarvud k₁(A), , kui

Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Schuri lahutus
Järgmine: Cayley-Hamiltoni teoreem