Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Maatriksi omaväärtused ja omavektorid
Järgmine: Maatriksi normid ja konditsiooniarvud

Maatriksi omavektor määrab ruumis ühemõõtmelise alamruumi, mis on invariantne maatriksiga A vasakult korrutamise suhtes.

Definitsioon 2.6.1. Alamruumi nimetatakse invariantseks maatriksiga A (vasakult) korrutamise suhtes, kui

Lause 2.6.1. Kui ja AX=XB, siis maatriksi X veeruvektorite ruum on invariantne maatriksiga A vasakult korrutamise suhtes ja reavektorite ruum on invariantne maatriksiga B paremalt korrutamise suhtes. Lisaks, kehtivad seosed

ja

Tõestus. Kui siis

ja



ning

Seega, maatriksi X veeruvektorite ruum on invariantne maatriksiga A vasakult korrutamise suhtes. Analoogiliselt tõestatakse, et reavektorite ruum on invariantne maatriksiga B paremalt korrutamise suhtes. Kui siis

st on maatriksi A omaväärtus, kui on maatriksi B omaväärtus. Nendime, et

Järelikult, kui maatriksi X veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud, siis Kui ja X on regulaarne ruutmaatriks , siis seosest AX=XB järeldub, et A=XBX^-1 ning

st maatriksi A iga omaväärtus on maatriksi B omaväärtus, ja seega

Definitsioon 2.6.2. Maatrikseid nimetatakse sarnasteks, kui leidub selline regulaarne maatriks et A=XBX^-1.

Lause 2.6.1 viimase väite põhjal on sarnaste maatriksite spektrid võrdsed. See väide järeldub ka vahetult, sest

Ülesanne 2.6.1.^* Kas maatriksid A ja B on sarnased, kui

Lause 2.6.2. Kui ja

siis

Tõestus. Kui st ja siis

Kui siis

Kui siis

Järelikult,

Kuna hulkade ja võimsused on samad, siis peab paika lause väide.

Näide 2.6.1. Leiame lause 2.6.2 abil maatriksi

spektri. Selleks leiame maatriksite ja omaväärtused:



Seega maatriksi spektrks on

Ülesanne 2.6.2.^* Leidke lause 2.6.2 abil maatriksi A spekter , kui

Definitsioon 2.6.3. Maatriksit nimetatakse unitaarmaatriksiks, kui Q^HQ=QQ^H=I.

Ülesanne2.6.3.^* Kas maatriks Q on unitaarmaatriks, kui

Lause 2.6.3 (teoreem maatriksi QR-lahutusest). Kui , siis maatriks A on esitatav kujul A=QR, kus maatriks on unitaarmaatriks ja R on ülemine kolmnurkne maatriks.

Lause 2.6.4. Kui
 
ja rank(X)=p, siis leidub selline unitaarmaatriks et

kus

Tõestus. Vaatleme maatriksi korral selle QR-lahutust kus ja Paigutades selle maatriksi X esituse seosesse (20), saame

Maatriksi Q^HAQ spekter ühtib maatriksi A spektriga, st Esitades maatriksi A kujul

leiame, et

Seega lause väide peab paika.

Märkus 2.6.1. Lause 2.6.4 võimaldab, teades maatriksi mingit invariantset alamruumi, teisendada maatriksi unitaarse sarnasusteisenduse abil kolmnurksele blokk-kujule.

Lause 2.6.5 (Schuri lahutus). Kui siis leidub selline unitaarne maatriks et
 
kusjuures ja on rangelt ülemine kolmnurkmaatriks, st ülemine kolmnurkmaatriks, mille peadiagonaalil on nullid. Maatriksit Q võib valida selliselt, et maatriksi A omaväärtused on D peadiagonaalil etteantud järjekorras.

Tõestuseks kasutame matemaatilist induktsiooni. Kuna väide peab paika n=1 korral, siis induktsiooni baas on olemas. Näitame induktsiooni sammu lubatavust. Eeldame, et väide peab paika maatriksite korral, mille järk on väiksem-võrdne kui Näitame, et see väide peab siis paika ka järgu k korral. Kui ja siis lemma 2.6.4 põhjal, valides , leidub selline unitaarmaatriks U, et

Kuna maatriks C selle maatriksi korral peab paika lause väide, st leidub selline unitaarmaatriks et on ülemine kolmnurkmaatriks. Kui siis





ja seega on maatriks Q^HAQ ülemine kolmnurkmaatriks.

Näide 2.6.2. Olgu

Näitame, et Q on unitaarmaatriks. Leiame korrutise Q^HAQ.

Kontrollime maatriksi Q on unitaarsust:



Leiame korrutise



Järelikult, oleme saanud maatriksi A Schuri lahutuse.

Seos (21) on esitatav kujul AQ=QT. Asendades kus vektoreid nimeta takse Schuri vektoreiks, viimasesse võrdusesse, saame

ehk



või

Sellest seosest järeldub, et alamruumid (k=1:n) on invariantsed maatriksiga A vasakult korrutamise suhtes ja Schuri vektor on maatriksi A omavektoriks parajasti siis, kui maatriksi -ndas veerus on vaid nullid.

Definitsioon 2.6.4. Kui ja A^HA=AA^H, siis maatriksit A nimetatakse normaalmaatriksiks.

Ülesanne 2.6.4.^* Kas maatriks A on normaalmaatriks, kui

Lause 2.6.6. Maatriks on normaalmaatriks parajasti siis, kui leidub selline unitaarmaatriks et

Tõestus. Kui maatriks A on unitaarselt sarnane diagonaalmaatriksiga D, siis



ja kuna diagonaalmaatriksid on kommuteeruvad, siis A^HA=AA^H ja maatriks A on normaalmaatriks. Vastupidi, kui maatriksi A on normaalmaatriks ja selle maatriksi Schuri lahutuseks on Q^HAQ=T, siis ka T on normaalmaatriks, sest

ja

Kuna kolmnurkmaatriks on normaalmaatriks vaid siis, kui see maatriks on diagonaalmaatriks, siis on tõestatud, et unitaarmaatriks on sarnane diagonaalmaatriksiga.

Lause 2.6.7 (blokk-diagonaal-lahutus). Olgu

on maatriksi Schuri lahutus, kusjuures blokid on ruutmaatriksid. Kui siis eksisteerib selline regulaarne maaatriks et

Järeldus 2.6.1. Kui siis leidub selline regulaarmaatriks X, et

kusjuures ja ning iga on rangelt ülemine kolmnurkmaatriks.

Lause 2.6.8 (Jordani lahutus). Kui siis leidub selline regulaarne et kusjuures ja

on Jordani blokk ning maatriks J kannab maatriksi A Jordani normaalkuju nime.

Tõestus. Vaadake Lankaster (1982, lk 143).

Näide 2.6.3. Leiame, kasutades paketti ''Maple'', kahe maatriksi Jordani lahutuse A=XJX^-1:

Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Maatriksi omaväärtused ja omavektorid
Järgmine: Maatriksi normid ja konditsiooniarvud