Peatüki algus: Vektorid
Eelmine: Vektorruumi alamruumid
Järgmine: Skalaarkorrutis

Definitsioon 1.3.1. Vektorruumi (üle korpuse ) vektorite hulka

nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui

Definitsioon 1.3.2. Vektorruumi (ülekorpuse ) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv.

Näide 1.3.1.^* Kontrollime, kas hulk on lineaarselt sõltumatu kõigi reaalsete kordajatega ülimalt n-astme polünoomide vektorruumis
Vaatleme võrdust

Algebrast teame, et polünoom võrdub nulliga parajasti siis, kui kõik selle polünoomi kordajad on nullid. Seega võime välja kirjutada süsteemi

Sellel süsteemil leidub vaid triviaalne lahend. Hulk U on lineaarselt sõltumatu.

Ülesanne 1.3.1.^* Tõestage, et iga vektorite hulk, mis sisaldab nullvektorit, on lineaarselt sõltuv.

Ülesanne 1.3.2.^* Tõestage, et kui determinandi reavektorid on lineaarselt sõltuvad, siis determinant võrdub nulliga.

Definitsioon 1.3.3. Vektorruumi vektorite hulga alamhulka nimetatakse maksimaalseks lineaarselt sõltumatuk s alamhulgaks, kui V on lineaarselt sõltumatu ja ta ei ole hulga U ühegi lineaarselt sõltumatu alamhulga pärisalamhulgaks.

Lause 1.3.1. Kui V on hulga U maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamhulk, siis

Tõestus. Kuna siis lineaarse katte definitsiooni kohaselt Seega tuleb väite tõestamiseks näidata, et Olgu väitevastaselt alamruumis vektor x , mis ei kuulu alamruumi Järelikult vektor x ei avaldu hulga V vektorite lineaarkombinatsioonina, küll aga avaldub hulga U vektorite lineaarkombinatsioonina, milles on kasutatud vähemalt üht vektorit
, kusjuures V ja ei avaldu hulga V vektorite lineaarkombinatsioonina. Hulk on lineaarselt sõltumatu ja sisaldab hulka V pärisalamhulgana. Järelikult V ei ole maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamhulk. Vastuolu eeldusega. Seega mida oligi vaja näidata.

Definitsioon 1.3.4. Vektorruumi vektorite hulka nimetatakse vektorruumi baasiks, kui B on lineaarselt sõltumatu ja ruumi iga vektor x avaldub hulga B vektorite lineaarkombinatsioonina, , kusjuures kordajaid (i=1:n) nimetatakse vektori x koordinaatideks baasil B.

Definitsioon 1.3.5. Kui vektorruumi baasis B olevate vektorite arv, so hulga I elementide arv, on lõplik, siis seda arvu nimetatakse vektorruumi dimensiooniks ehk mõõtmeks ja tähistatakse ning vektorruumi nimetatakse lõplikudimensionaalseks ehk lõplikumõõtmeliseks ruumiks. Kui vektorruumi baasis B olevate vektorite arv on lõpmatu, siis vektorruumi nimetatakse lõpmatudimensionaalseks ehk lõpmatumõõtmeliseks ruumiks.

Lause 1.3.2. Vektorruumi vektorite alamhulk B sobib selle ruumi baasiks parajasti siis, kui ta on maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamhulk.

Näide 1.3.1. Vektorid

moodustavad baasi ruumis Kontrollime definitsioonis 1.3.4 esitatud tingimuste täidetust. Kuna


siis vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, ja kuna

siis ruumi kuuluv suvaline vektor avaldub vektorite lineaarkombinatsioonina.

Näide 1.3.2. Vektorite süsteem

moodustab baasi ruumis

Näide 1.3.3. Vektorite süsteem moodustab baasi ülimalt n-astme polünoomide vektorruumis Tõesti, vektorite hulk on lineaarselt sõltumatu, sest

ja ruumi iga vektor x (so mistahes ülimalt n-astme polünoom) avaldub kujul

Definitsioon 1.3.6. Kaht vektorruumi ja nimetatakse isomorfseteks, kui nende ruumide vahel on korraldatav selline üksühene vastavus et

Lause 1.3.3. Kõik samamõõtmelised (üle sama arvukorpuse ) vektorruumid on isomorfsed.

Peatüki algus: Vektorid
Eelmine: Vektorruumi alamruumid
Järgmine: Skalaarkorrutis