Peatüki algus: Võrrandisüsteemide lahendamine iteratsioonimeetodil
Eelmine: Jacobi meetod ja Gauss-Seideli
Järgmine: Iteratsiooniprotsessi koonduvuse kiirendamine

Nii Jacobi kui ka Gauss-Seideli algoritmid on tüüpi
 
kus A=M-N. Siinjuures räägitakse, et on antud maatriksi A lagu. Iteratsioonialgoritmi rakendamisel on oluline, et lineaarset süsteemi (6) süsteemimaatriksiga M oleks lihtne lahendada. Jacobi meetodi korral on M diagonaalmaatriks ja Gauss-Seideli meetodi korral alumine kolmnurkmaatriks. Osutub, et seosega (6) määratud iteratsiooniprotsessi koonduvus sõltub sellest, milline on maatriksi M^-1N spektraalraadius.

Definitsioon 7.3.1. Suurust

nimetatakse maatriksi spektraalraadiuseks.

Lause 7.3.1. Olgu A=M-N regulaarmaatriksi lagu ja Kui maatriks M on regulaarne ja
 
siis algoritmiga (6) määratud lähendite jada koondub süsteemi (1) lahendiks suvalise alglähendi korral.

Tõestus. Tähistame,
 
Kuna süsteemi täpne lahend rahuldab seost
 
siis seostest (6) ja (9) saame, et

Arvestades tähistust (8), leiame suvalise mittenegatiivse täisarvu k korral seose

ehk

Lause 7.1.2 põhjal järeldub hinnangust (7), et

Seega,

Näide 7.3.1.^* Olgu süsteemi maatriks

Tõestame, et Jacobi algoritmiga määratud lähendite jada koondub selle süsteemi lahendiks suvalise alglähendi korral.
Kuna



ja

siis

ning

Nendime, et maatriks A on regulaarne. Järelikult lause 7.3.1 põhjal Jacobi algoritmiga määratud lähendite jada koondub süsteemi lahendiks suvalise alglähendi korral.

Ülesanne 7.3.1.^* Lahendage süsteem

nii Jacobi kui ka Gauss-Seideli meetodil. Tõestage, et nende algoritmidega määratud lähendite jadad koonduvad selle süsteemi lahendiks suvalise alglähendi korral.

Ülesanne 7.3.2.^* Lahendada süsteem

nii Jacobi kui ka Gauss-Seideli meetodil. Tõestage, et nende algoritmidega määratud lähendite jadad koonduvad selle süsteemi lahendiks suvalise alglähendi korral.

Definitsioon 7.3.2. Maatriksit nimetatakse rangelt domineeriva diagonaaliga maatriksiks, kui

Märkus 7.3.1. Kui maatriks on rangelt domineeriva diagonaaliga, siis maatriksi M_J^-1N_J spektraalraadius rahuldab tingimust

st valemiga (4) määratud iteratsioon koondub.

Lause 7.3.2. Kui on sümmeetriline positiivselt määratud maatriks, siis Gauss-Seideli iteratsiooniprotsess koondub suvalise korral.

Tõestus. Tähistame, A=L+D+L^T, kus L on rangelt alumine kolmnurkne maatriks (peadiagonaalil nullid) ja D on diagonaalmaatriks. Kuna maatriks A on positiivselt määratud, siis järelduse 6.2.1 põhjal on positiivselt määratud ka maatriks D. Järelikult, eksisteerib Maatriksid A ja L+D on regulaarsed. Seega, lause 7.3.1 põhjal piisab Gauss-Seideli iteratsiooniprotsessi koonduvuse tõestamiseks näidata, et maatriksi G=-(L+D)^-1U spektraalraadius rahuldab tingimust Olgu G₁=D^1/2GD^-1/2. Kuna sarnastel maatriksitel G ja G₁ on sama spekter, siis piisab kontrollida tingimuse täidetust. Olgu L₁=D^-1/2LD^-1/2. Leiame, et







Seega, piisab tõestada, et Kui kusjuures , siis



ja

ning

Kui tähistada siis ja

ning

Seega,
 
Kuna maatriks A on positiivselt määratud, siis lause 6.2.1 põhjal on positiivselt määratud ka maatriks D^-1/2AD^-1/2 ja





Järelikult,



ja tingimuse (10) põhjal on st