Peatüki algus: Lineaarsete algebraliste võrrandisüsteemide lahendamise otsesed meetodid
Eelmine: Maatriksi LDM^T-lahutus ja LDL^T-lahutus
Järgmine: Positiivselt poolmääratud maatriksid

Definitsioon 6.2.1. Maatriksit nimetatakse positiivselt määratuks, kui

iga nullist erineva vektori korral.

Näide 6.2.1. Maatriks

on positiivselt määratud, sest korral

Ülesanne 6.2.1.^* Näidake, et maatriks

on positiivselt määratud.

Lause 6.2.1. Kui on positiivselt määratud maatriks ja maatriksi veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud, siis maatriks

on samuti positiivselt määratud.

Tõestus. Kui vektori korral peab paika seos

siis

ja maatriksi A positiivsest määratusest järeldub, et Kuna maatriksi X veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud, siis tingimusest järeldub, et Seega, tingimustest ja järeldub, et st maatriks B on positiivselt määratud.

Järeldus 6.2.1. Kui maatriks on positiivselt määratud, siis kõik maatriksi A alammaatriksid, mis on saadud maatriksi A samanumbriliste ridade ja veergude kustutamisel, on positiivselt määratud ja kõik maatriksi A peadiagonaali elemendid on positiivsed.

Tõestus. Kui on selliste naturaalarvuliste koordinaatidega vektor, et

siis

on maatriks, mis on saadud ühikmaatriksi I_n veergudest, indeksitega Seega, maatriksi X veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud ja lause 6.2.1 põhjal on maatriks X^TAX positiivselt määratud. Maatriks X^TAX on maatriksi A alammaatriks, mis on saadud maatriksi A ridadest ja veergudest numbritega Seega, kõik maatriksi A alammaatriksid, mis on saadud maatriksi A samanumbriliste ridade j a veergude kustutamisel, on positiivselt määratud. Valides k=1, saame järelduse väite teise poole.

Järeldus 6.2.2. Kui A on positiivselt määratud, siis maatriksil A leidub lahutus A=LDM^T ja diagonaalmaatriksi peadiagonaali kõik elemendid on positiivsed.

Tõestus. Järelduse 6.2.1 põhjal on kõik maatriksi A alammaatriksid A(1 : k, 1 : k) (1k n) positiivselt määratud ja, seega, regulaarsed maatriksid ning lause 6.1.1 põhjal eksisteerib LDM^T-lahutus. Võttes lauses 6.2.1 X=L^-T, leiame, et maatriks

on positiivselt määratud. Kuna maatriks M^TL^-T ülemine ühikdiagonaaliga kolmnurkmaatriks, siis maatriksitel B ja D on sama peadiagonaal ja seal peavad maatriksi B positiivse määratuse tõttu olema positiivsed elemendid.

Lause 6.2.2 (Cholesky lahutus). Kui maatriks A on sümmeetriline ja positiivselt määratud, siis leidub täpselt üks alumine positiivse peadiagonaaliga kolmnurkmaatriks G, et
 

Tõestus. Lause 6.1.2 põhjal leiduvad ja on üheselt määratud ühikdigonaaliga alumine kolmnurkmaatriks L ja diagonaalmaatriks nii, et kehtib lahutus (3), so A=LDL^T. Järelduse 6.2.2 kohaselt on maatriksi D elemendid d_k positiivsed. Seetõttu maatriks

on positiivse peadiagonaaliga alumine kolmnurkmaatriks ja paika peab seos (5). Lahutuse (5) ühesus järeldub lahutuse (3) ühesusest.

Lahutus (5) on tuntud Cholesky lahutuse nime all. Maatriksit G nimetatakse maatriksi A Cholesky kolmnurkmaatriksiks. Sümmeetrilise ja positiivselt määratud maatriksiga A võrrandisüsteemi

lahendamiseks tuleb, esiteks, leida maatriksi A Cholesky kolmnurkmaatriksiks G. Teiseks, tuleb lahendada kolmnurkmaatriksiga süsteem

Kolmandaks, tuleb lahendada süsteem

Cholesky lahutust on võimalik leida samm-sammult.

Lause 6.2.3. Kui maatriks A on sümmeetriline ja positiivselt määratud, siis tähistuse

korral on maatriks A esitatav kujul
 
kusjuures Maatriks on positiivselt määratud. Kui

siis A=GG^T, kusjuures

Tõestus. Kontrollime lahutuse (6) õigsust:





Kui

siis



Kuna maatriks A on positiivselt määratud ja maatriksi X veeruvektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis lause 6.2.1 põhjal on positiivselt määratud ka maatriks

ja järelduse 6.2.1 väitel on maatriks samuti positiivselt määratud ning võime analoogiliselt maatriksi A lahutusega blokkideks jaotada ka maatriks blokkideks, jne.

Näide 6.2.1. Leiame maatriksi

LU-lahutuse, LDM^T-lahutuse, LDL^T-lahutuse ja Cholesky lahutuse.

Nendime, et kui maatriksi A peamiinorid on nullist erinevad, siis maatriksi A viimisel Gaussi teisenduse abil kolmnurkkujule, leiame samaaegselt nii maatriksi L kui ka maatriksi U. Nimelt, alumise kolmnurkmaatriksi L element l_ij võrdub teguriga, millega tuleb j-ndat rida korrutada mahalahutamisel i-ndast reast i-ndas reas oleva elemendi nullistamisel. Leiame, et

ja

ning

Teades maatriksi A jaoks LU-lahutust, leiame maatriksi A jaoks LDM^T-lahutuse, LDL^T-lahutuse ja Cholesky lahutuse:

ja

Leiame maatriksi A Cholesky lahutuse ka samm-sammult, kasutades lauses 6.2.3 esitatud algoritmi. Kuna esimesel sammul

siis

Järgneval sammul

ja

Seega

ja

ning

Ülesanne 6.2.2.^* Leidke positiivselt määratud maatriksi

Cholesky lahutus.

Ülesanne 6.2.3.^* Lahendage võrrandisüsteem kus

kui on teada maatriksi A Cholesky lahutus