Peatüki algus: Võrrandisüsteemide lahendamine iteratsioonimeetodil
Eelmine: Süsteemimaatriksi lagu ja iteratsiooniprotsessi koonduvus
Järgmine: Numbriline stabiilsus

Kui suurus on ühest väiksem, kuid ühele lähedane suurus, siis Gauss-Seideli meetod koondub, kuid väga aeglaselt. Tekib probleem, kuidas lähendite jada koonduvust kiirendada? Üheks koonduvuse kiirendamise võtteks on nn relaksatsioonimeetod. Relaksatsioonimeetodi aluseks on algoritm

mille maatrikskujuks on

kus ja Probleemiks on määrata relaksatsiooniparameeter nii, et oleks vähim. Teatud lisatingimustel on see probleem lahendatud.

Koonduvuse kiirendamise Chebyshev'i võte.

Oletame, et oleme leidnud algoritmi (6) abil süsteemi (1) lahendi lähendid Olgu
 
Probleemiks on määrata valemis (11) kordajad selliselt, et lähendi veavektor oleks väiksem kui veavektor Juhul

on loomulik nõuda, et See on parajasti siis nii, kui
 
Kuidas valida kordajad nii, et need rahuldaks seost (12) ja veavektor oleks lühima pikkusega? Kuna

siis



kus G=M^-1N ja

Tingimusest (12) järeldub, et p_k(1)=1. Lisaks,
 
Piirdume järgnevas vaid sümmeetrilise maatriksi G juhuga. Rahuldagu sümmeetrilise maatriksi G omaväärtused võrratuste ahelat

Kui on maatriksi G omaväärtus, mis vastab omavektorile , siis

st vektor on ka maatriksi p_k(G) omavektor, mis vastab omaväärtusele

Sümmeetrilise maatriksi G korral on sümmeetriline ka maatriks p_k(G). Järelikult,

Selleks, et vähendada suurust , on vaja leida selline polünoom p_k(z), mille väärtused lõigul on väikesed ja mis rahuldab tingimust p_k( 1)=1. Sellise omadusega on Chebyshev'i polünoomid. Chebyshev'i polünoomid lõigul [-1;1] defineeritakse rekurrentse seosega

kusjuures c₀(z)=1 ja c₁(z)=z. Need polünoomid rahuldavad võrratust

ja c_j(1)=1 ning suurused |c_j(z)| kasvavad kiiresti väljaspool lõiku [-1;1]. Polünoom
 
kus

rahuldab tingimusi p_k(1)=1 ja

Arvestades seoseid (13) ja(14), leiame, et

Järelikult, mida suurem on seda suurem on ja seda suurem on Chebyshev'i kiirendus.