Peatüki algus: Pseudo-pöördmaatriks
Eelmine: Vähimruutude meetod
Järgmine: Maatriksi Jordani kuju

Uurime järgnevalt optimaalse lahendi leidmise algoritmi.

Näide 4.2.1. Olgu ja

kus ja Leiame süsteemi

optimaalse lahendi. Vektori ristprojektsioon ruumile on ja Lahendi saamiseks tuleb la hendada süsteem

st

ehk

kus on suvalised. Valides saame minimaalse 2-normiga lahendi

Nendime, et saadud avaldub ka kujul

Antud näiteülesande optimaalne lahend on saadav vabaliikmete vektorist selle korrutamisel vasakult maatriksiga

Maatriks on saadav maatriksist selle transponeerimisel ja seejärel nullist erinevate elementide asendamisel nende pöördelementidega. Seega,

Üldistame näites 4.2.1. saadud tulemuse

Lause 4.2.1. Kui

 
ja

 
siis võrrandisüsteemi

optimaalne lahend avaldub kujul

kus
 

Definitsioon 4.2.1. Olgu

maatriksi singulaarlahutus. Maatriksi A pseudo-pöördmaatriksiks nimetatakse maatriksit

kus ja on määratud seostega (1-3).

Ülesanne 4.2.1. Olgu ja Näidake, et A⁺=A^-1.

Näide 4.2.2. Leiame näites 3.3.2 esitatud maatriksi pseudo-pöördmaatriksi. Selles näites leidsime maatriksi A singulaarlahutuse

Definitsiooni 4.2.1 põhjal

so

Lause 4.2.2. Kui siis süsteemi optimaalne lahend
(vähimruutude mõttes) on leitav valemiga

Tõestus. Vektori korrutamisel ortogonaalmaatriksiga U^T säilib vektori 2-norm. Järelikult,

Teostame asenduse, Seega

Lause 4.2.1 põhjal on avaldist minimiseerivaks vektoriks

ja vektor

minimiseerib avaldise

Näide 4.2.3. Leiame süsteemi

optimaalse lahendi. Näites 4.2.2 leidsime süsteemimaatriksi

pseudopöördmaatriksi

Lause 4.2.2 põhjal saame optimaalse lahendi

Näide 4.2.4. Leiame süsteemi

optimaalse lahendi. Näites 3.3.1 leidsime süsteemimaatriksi A singulaarlahutuse

Kasutades definitsiooni 4.2.1 leiame pseudopöördmaatriksi



Süsteemi optimaalne lahend avaldub kujul

Ülesanne 4.2.2.^* Leidke maatriksi A=[0] pseudopöördmaatriks ja selgitage saadud tulemust. Vastus: A⁺=[0].

Ülesanne 4.2.3.^* Leidke maatriksi A pseudopöördmaatriks, kui

Ülesanne 4.2.4.^* Milline on ortonormeeritud veergudega maatriksi A pseudopöördmaatriks? Vastus: A⁺=A^T.

Ülesanne 4.2.5.^* Leidke süsteemi

optimaalne lahend.

Lause 4.2.3 (Moore-Penrose'i tingimused). Kui siis tingimusi

rahuldab vaid üks maatriks ja selleks on A⁺.

Ülesanne 4.2.6.^* Maatriksit A nimetatakse projektsioonimaatriksiks kui

Kontrollige projektsioonimaatriksi A korral Moore-Penrose'i tingimuste täidetust. Kas A⁺=A?