Peatüki algus: Vektorid
Eelmine: Vektori norm
Järgmine peatükk: Maatriksid

---

Definitsioon 1.6.1. Skalaarkorrutamisega vektorruumi X vektoreid x ja y nimetatakse ortogonaalseteks, kui ja tähistatakse Vektorruumi X vektorit x nimetatakse ortogonaalseks hulgaga kui

Ülesanne 1.6.1.^* Leidke kõik vektorid, mis on ortogonaalsed nii vektoriga kui ka vektoriga

Definitsioon 1.6.2. Öeldakse, et vektorruumi X hulgad Y ja Z on ortogonaalsed, kui

Definitsioon 1.6.3. Jada skalaarkorrutamisega vektorruumi X nimetatakse Cauchy jadaks, kui vastavalt igale etteantud arvule leidub naturaalarv n₀ nii, et mistahes ja n>n₀ korral

Definitsioon 1.6.4. Skalaarkorrutamisega vektorruumi X nimetatakse täielikuks, kui temas iga Cauchy jada on koonduv selle ruumi X punktiks.

Definitsioon 1.6.5. Hilberti ruumiks nimetatakse kompleksset skalaarkorrutamisega vektorruumi, mis osutub normi järgi koondumise mõttes täielikuks.

Lause 1.6.1. Ruum skalaarkorrutamisega on Hilberti ruum.

Lause 1.6.2. Lõigul integreeruva ruuduga funktsioonide ruum skalaarkorrutisega on Hilberti ruum.

Lause 1.6.3. Skalaarkorrutamisega vektorruumi X vektorite ortogonaalsusel on järgmised omadused (1-4):

1. 
2. 
3. 
4. 
   Hilberti ruumi vektorite ortogonaalsusel on täiendavalt omadus:
5. 

Tõestame need väited:

Definitsioon 1.6.6. Hulga ortogonaalseks täiendiks nimetatakse hulka ruumi X kõigist vektoritest, mis on ortogonaalsed hulgaga Y, st

Ülesanne 1.6.2.^* Olgu Leidke hulga U ortogonaalne täiend.

Lause 1.6.4. Kui X on skalaarkorrutamisega vektorruum, ja siis Kui lisaks X on täielik, st on Hilberti ruum, siis

Tõestus. Lause 1.6.3 väidete 3 ja 4 põhjal . Kui st , selline, et siis arvestades ortogonaalsust ja lause 1.6.3 väidet 5, saame , st

Lause 1.6.5. Hulga ortogonaalne täiend on ruumi X alamruum. Hulga ortogonaalne täiend on Hilberti ruumi kinnine alamruum, st on ruumi alamruum, mis sisaldab kõik oma rajapunktid.

Tõestus. Lause 1.2.1 põhjal on piisav lause 1.6.5 esimese väite tõestamiseks näidata, et on kinnine vektorite liitmise ja skalaariga korrutamise suhtes. See järeldub lause 1.6.3 väidetest 3 ja 4. Sama lause väite 5 põhjal kehtib ka lause 1.6.5 teine väide.

Lause 1.6.6. Kui Y on Hilberti ruumi kinnine alamruum, siis iga esitub ühesel viisil summana

Järeldus 1.6.1. Kui on Hilberti ruumi kinnine alamruum, siis ruum avaldub kinniste alamruumide ja otsesummana ning

Definitsioon 1.6.7. Hilberti ruumi vektori x kaugus alamruumist defineeritakse valemiga

Lause 1.6.7. Kui on Hilberti ruumi kinnine alamruum ja , siis leidub selline üheselt määratud et

Definitsioon 1.6.8. y nimetatakse vektori x ristprojektsiooniks alamruumile