Definitsioon 2.4.3. Maatriksi astakuks nimetatakse suurimat naturaalarvu k, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-järku miinor. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A).

Olgu rank(A)=r. Maatriksi astaku kohta käiva teoreemi põhjal peab paika

Lause 2.4.1. Maatriksi astak on võrdne tema reavektorite (veeruvektorite) alamruumi mõõtmega, so

Definitsioon 2.4.4. Maatriksi A (parempoolseks) nullruumiks nimetatakse võrrandisüsteemi
 

  kõigi lahendite

hulka. See on alamruum, mida tähistatakse sümboliga või null(A).

Lause 2.4.2. Mistahes maatriksi , mille astak on r, korral

Tõestus. Süsteemimaatriksi A astakuks on r ja muutujate arvuks võrrandisüsteemis (4) on n. Järelikult süsteemi vabadusastmete arvuks on n-r. Vabadusastmete arv näitab nullruumi mõõdet. Seega, Süsteem (4) on kirja pandav kujul

Seega =1:m), st maatriksi A reavektorid on risti maatriksi A nullruumi suvalise vektoriga ja seega Kuna lisaks ja siis ja ruumi esitub otsesummana

Definitsioon 2.4.5. Maatriksi A vasakpoolseks nullruumiks nimetatakse võrrandisüsteemi
 
kõigi lahendite

hulka ja tähistatakse või null(A^T).

Lause 2.4.3. Mistahes maatriksi , mille astak on r, korral

Tõestus. Süsteemimaatriksi A^T astakuks on r ja muutujate arvuks võrrandisüsteemis (5) on m. Järelikult on süsteemi vabadusastmete arvuks m-r ja

Süsteem (5) on esitatav kujul

Seega =1:m) ja Kuna ja siis ja ruumi R^m esitub otsesummana

Näide 2.4.1. Leiame maatriksi

alamruumide ja mõõtmed ja baasid. Illustreerime lausete 2.4.2 ja 2.4.3 väiteid antud näite korral.

Alustame ruumi uurimisest, lahutades maatriksi A teisest veerust kahekordse esimese veeru,

ja siis kolmandast veerust uue teise, neljandast veerust esimese ning viiendast veerust esimese veeru ja uue teise

Siin sümbol "" maatriksite vahel tähistab seda, et on säilunud Viimasel maatriksil on nullist erinevaid veerge 2 Baasiks ruumile saame

Ruumi kirjeldamiseks lahendame süsteemi (5) :

st

Seega ruumi baas on

Kontrollime skalaarkorrutise abil, et



Ühend sisaldab kolme lineaarselt sõltumatut vektorit ja on seega baasiks ruumile ning järelikult Ruumi kirjeldamiseks leiame tema dimensiooni ja baasi:



Ruumi kirjeldamiseks lahendame süsteemi (4):





Baasi vektorid on risti baasi vektoritega ja seega ning ühend moodustab baasi ruumile järelikult

Ülesanne 2.4.1. Olgu Näidake, et

Ülesanne 2.4.2. Näidake, et

Ülesanne 2.4.3.^* Leidke maatriksi A alamruumide ja mõõtmed ja baasid. Illustreerige lausete 2.4.2 ja 2.4.3 väiteid maatriksi A korral, kui

Ülesanne 2.4.4.^* Leidke maatriksi AB alamruumide ja mõõtmed ja baasid, kui

Võrrelge saadud tulemusi ülesande 2.4.3 alaülesannetes b ja c saadud tulemustega.

Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Determinandid
Järgmine: Maatriksi omaväärt used ja omavektorid