Peatüki algus: Vektorid
Eelmine: Vektorite lineaarne sõltuvus.
Järgmine: Vektori norm

Definitsioon 1.4.1. Vektorruumi X üle korpuse K nimetatakse skalaarkorrutamisega ruumiks, kui igale elemendipaarile on vastavusse seatud kindel, vektorite x ja y skalaarkorrutiseks nimetatav, arv nii, et on täidetud tingimused (skalaarkorrutise aksioomid):

1. 
2. , kus on suuruse kaaskompleks;
3. (aditiivsus esimese teguri suhtes);
4. (homogeensus esimese teguri suhtes).

Kui on vektorruum üle , siis definitsiooni põhjal ja tingimus 1 omandab kuju , st sel juhul on skalaarkorrutis kommutatiivne.

Näide 1.4.1. Defineerime ruumis vektorite

skalaarkorrutise valemiga

Kontrollime tingimuste 1-4 täidetust:

Näide 1.4.2. Vaatleme kõigi lõigul (Lebesgue'i mõttes) integreeruva ruuduga funktsioonide vektorruumi Defineerime selliste funktsioonide skalaarkorrutise seosega

Veenduge, et on täidetud skalaarkorrutamise aksioomid 1-4!

Lause 1.4.1. Skalaarkorrutisel on järgmised omadused:

1. (aditiivsus teise teguri suhtes);
2. (kaashomogeensus teise teguri suhtes);
3. 
4. 

Tõestame esitatud väited:

Lause 1.4.2 (Cauchy-Schwartzi võrratus). Skalaarkorrutamisega vektorruumi mistahes vektorite x ja y korral kehtib võrratus

Tõestus. Kui , siis skalaarkorrutise definitsiooni tingimuse 1 põhjal peab võrratus paika. Vaatleme järgnevalt juhtu Defineerime abifunktsiooni

Kuna korral

Viimane võrratus on samaväärne võrratusega ja see Cauchy-Schwartzi võrratusega. Cauchy-Schwartzi võrratus võimaldab defineerida nurga kahe vektori vahel skalaarkorrutisega vektorruumis.

Definitsioon 1.4.2. Skalaarkorrutamisega vektorruumi mistahes vektorite x ja y vaheline nurk määratakse seosega

Ülesanne 1.4.1.^* Näidake, et iga kahe komplekse vektori ja korral kehtib võrdus

Ülesanne 1.4.2.^* Kõigi lõigul määratud reaalsete kordajatega ülimalt n-astme polünoomide vektorruumis on skalaarkorrutis defineeritud valemiga

Leidke polünoomide ja vaheline nurk.