Peatüki algus: LU-lahutus
Eelmine: Kolmnurksete võrrandisüsteemide lahendamine
Järgmine: QR-lahutus

Teatud tingimustel on võrrandisüsteemi süsteemimaatriks A esitatav alumise ühikdiagonaaliga, st peadiagonaali elementideks on ühed, kolmnurkmaatriksi L ja ülemise kolmnurkmaatriksi U korrutisena ja lahendada tuleb kaks kolmnurkse maatriksiga võrrandisüsteemi.

Lause 1.2.1 (LU-meetod). Kui kus L on alumine ühikdiagonaaliga kolmnurkmaatriks ja U on ülemine regulaarne kolmnurkmaatriks, ning siis ning süsteemi lahendamiseks tuleb alguses lahendada süsteem ja seejärel lahendada süsteem

Näide 1.2.1. Lahendame süsteemi

LU-meetodil. Kuna

siis lause 1.2.1 põhjal tuleb, esiteks, lahendada süsteem

Selle süsteemi lahendiks on ja Teiseks, lahendades süsteemi

leiame, et ja Seega,

Lineaaralgebra põhikursuses võrrandisüsteemide lahendamiseks esitatud Gaussi võte on rakendatav ka LU-lahutuse korral. Olgu kusjuures Kui

ja
 
siis

Definitsioon 1.2.1. Maatriksit M_k kujul (2) nimetatakse Gaussi maatriksiks, komponente nimetatakse Gaussi kordajateks ja vektorit Gaussi vektoriks ning Gaussi maatriksiga määratud teisendust nimetatakse Gaussi teisenduseks.

Definitsioon 1.2.2. Maatriksi k-ndaks juhtelemendiks nimetatakse suurust

kusjuures ja

Kui siis maatriksi A nullist erinevate juhtelementide korral on leitavad Gaussi maatriksid nii, et on ülemine kolmnurkmaatriks.

Näide 1.2.2. Vaatleme Gaussi maatriksite M₁ ja ning ülemise kolmnurkmaatriksi U leidmist maatriksi

korral. Seose (2) abil leiame, et



Seega,

ja



ning

Märgime, et maatriks on ülemine kolmnurkne veergudes ühest kuni (k-1)-ni ja Gaussi maatriksi M_k elementide arvutamiseks kasutatakse maatriksi vektorit A^(k-1)(k:m,k), kusjuures maatriksi M_k leidmine on võimalik, kui . Lisaks, Kui valida

siis

Rõhutame, et meie käsitluses alumine kolmnurkmaatriks L on ühikdiagonaaliga maatriks.

Lause 1.2.2. Kui peamiinorid, so 1: k , 1: 1: n-1), siis maatriksil on olemas LU-lahutus. Kui regulaarsel maatriksil A eksisteerib LU-lahutus, siis see on ühene ja

Tõestus. Oletame, et k-1 sammu on sooritatud ja leitud on maatriks Element a_kk^(k-1) on maatriksi A k-s juhtelement ja 1:k, 1: Seega, kui A(1:k, 1:k) on regulaarne, siis ja eksisteerib maatriksi A jaoks LU-lahutus. Oletades, et regulaarsel maatriksil A on kaks LU-lahutust A=L₁U₁ ja A=L₂U₂, saame, et L₁U₁=L₂U₂ ehk L₂^-1L₁=U₂U₁^-1. Kuna L₂^-1L₁ o n alumine kolmnurkmaatriks, mille peadiagonaalil on ühed ja U₂U₁^-1on ülemine kolmnukmaatriks, siis L₂^-1L₁=I ja U₂U₁^-1=I ning L₂=L₁ ja

Näide 1.2.3.^* Leiame maatriksi

LU-lahutuse.
Leiame Gaussi maatriksi M₁ maatriksi A korral:



Seega

ja

Näide 1.2.4.^* Leiame maatriksi

LU-lahutuse.
Leiame Gaussi maatriksi M₁ maatriksi A korral:



Seega

ja kuna maatriks M₁A on ülemine kolmnurkmaatriks, siis M₂=I ning

Näide 1.2.5.^* Lahendame süsteemi , kus

kasutades LU-lahutust.
Näites 1.2.4 on leitud maatriksi A jaoks LU -lahutus:

Süsteemi so

lahendamisel saame, et

Süsteemi so

lahendamisel leiame, et

Ülesanne 1.2.1.^* Leidke maatriksi A jaoks LU-lahutus, kui

Ülesanne 1.2.2.^* Lahendage süsteem , kus

kasutades LU-lahutust.

Ka ristkülikmaatriksi , mille peamiinorid on nullist erinevad, so

jaoks eksisteerib LU-lahutus.

Näide 1.2.6. Järgnevad seosed peavad paika



Algebra põhikursusest on teada, et Gaussi elimineerimismeetodi vahetu rakendamine , seega ka LU-lahutuse vahetu teostamine, nurjub, kui vähemalt üks maatriksi peamiinoreist on singulaarne. Osutub, et regulaarse maatriksi korral on peale maatriksi ridade järjekorra sobivat muutmist võimalik teisendatud maatriksi LU-lahutus. Ridade (ka veergude) järjekorra muutmiseks kasutatakse permutatsioonimaatrikseid.

Definitsioon 1.2.3. Permutatsioonimaatriksiks nimetatakse maatriksit, mis on saadud ühikmaatriksist I ridade järjekorra muutmise teel.

Näide 1.2.7 . Vaatleme, kuidas mõjub maatriksile A selle korrutamine ühe konkreetse permutatsioonimaatriksiga P.

Permutatsioonimaatriksiga P vasakult korrutamisel saame uue maatriksi, mis on lähtemaatriksist saadud ridade samal viisil ümberpaigutamisel, kui on saadud maatriks P maatriksist I. Korrutades paremalt,

saame uue maatriksi, mis on lähtemaatriksist saadud veergudede samal viisil ümberpaigutamisel, kui on saadud maatriks P maatriksist I veergude ümberpaigutamise teel. Peab paika

Lause 1.2.3. Kui ja siis leidub selline permutatsioonimaatriks et maatriksi PA kõik peamiinorid on nullist erinevad ja seega eksisteerib LU-lahutus

Näide 1.2.8.^* Olgu

Leiame sobiva permutatsioonimaatriksi korral maatriksi PA jaoks LU-lahutuse.
Vahetame ära maatriksi A esimese ja teise rea, st võtame

ning leiame maatriksi

korral Gaussi maatriksi

Seega

ja

ning

Järelikult,

ja

Ülesanne 1.2.3.^* Leiame sobiva permutatsioonimaatriksi P korral maatriksi PA jaoks LU-lahutuse, kui

Peatüki algus: LU-lahutus
Eelmine: Kolmnurksete võrrandisüsteemide lahendamine
Järgmine: QR-lahutus