Peatüki algus: Lineaarsete algebraliste võrrandisüsteemide lahendamise
Eelmine: Positiivselt määratud süsteemid
Järgmine: Maatriksi polaarlahutus ja ruutjuurte meetod

Positiivselt poolmääratud maatriksid

Definitsioon 6.3.1. Maatriksit tex2html_wrap_inline1495 nimetatakse positiivselt poolmääratud maatriksiks , kui
displaymath1817

Näide 6.3.1. Maatriks
displaymath1818
on positiivselt poolmääratud, sest tex2html_wrap_inline1633 korral
displaymath1819

displaymath1820
ja juhul tex2html_wrap_inline1839 tex2html_wrap_inline1841 näeme, et tex2html_wrap_inline1843 kusjuures tex2html_wrap_inline1845 st maatriks A on positiivselt poolmääratud maatriks, kuid ei ole positiivselt määratud maatriks.

Ülesanne 6.3.1.* Näidake, et maatriks
displaymath463
on positiivselt poolmääratud.

Lause 6.3.1. Kui tex2html_wrap_inline1495 on sümmeetriline positiivselt poolmääratud maatriks, siis
 equation575

 equation582

 equation587
ja
 equation594

Tõestus. Olgu tex2html_wrap_inline1851 ja tex2html_wrap_inline1853 Kuna maatriks A on positiivselt poolmääratud ja sümmeetriline, siis
displaymath1821

displaymath1822
ja
 equation651
Tingimus (11) on rahuldatud parajasti siis, kui
displaymath1823
millest omakorda järeldub väide (7) ja sellest väide (8). Fikseerides võrratuses (11) suuruse tex2html_wrap_inline1857 ja arvestades maatriksi A sümmeetrilisust, saame, et
displaymath1824

displaymath1825
ja väited (9) ning (10). tex2html_wrap_inline1519

Ülesanne 6.3.2. Näidake, et Cholesky lahutuse A=GGT algoritm on rakendatav (väikese muudatusega) ka sümmeetrilise positiivselt poolmääratud maatriksi A korral.