Peatüki algus: Lineaarsete algebraliste võrrandisüsteemide lahendamise
Eelmine: Blokk-süsteemid
Järgmine: Võrrandisüsteemide lahendamine iteratsioonimeetodil

Vaatleme süsteemi
 
kus A=QR on regulaarmaatriksi QR-lahutus, kusjuures on ortogonaalmaatriks ja on ülemine kolmnurkmaatriks. Asendades seoses (14) maatriksi A tema QR-lahutusega, saame, et
 
Korrutades seose (15) mõlemaid pooli vasakult maatriksiga Q^T, leiame, et
 
Süsteem (16) on ülemise kolmnurkmaatriksiga R. Maatriksi A regulaarsusest järeldub maatriksi R regulaarsus. Seega, süsteem (16) on üheselt lahenduv. Selleks kasutatakse lauses 1.1.2 esitatud asendust tagasisuunas.

Näide 6.7.1. Lahendame QR-meetodil süsteemi
 
Näites 2.3.2 on leitud süsteemimaatriksi QR-lahutus:

Esitame süsteemi (17) kujul (16),

so

Saadud ülemise kolmnurkmaatriksiga süsteemi lahendame asendusega tagasi-suunas. Tulemuseks saame, et

Vaatleme süsteemi (14), kus A=QR on regulaarmaatriksi QR-lahutus, kusjuures on ortogonaalmaatriks ja on ülemine kolmnurkmaatriks, lahendamist vähimruutude meetodil. Olgu

ja

kus ning Leiame, et



Kuna suurus on konstantne, siis minimiseerida saame vaid suurust

ja selle minimaalseks väärtuseks on 0. Tõesti, tingimusest järeldub, et maatriks R₁ on regulaarne. Seega, süsteem

kus sümboliga on tähistatud süsteemi (14) lahendit vähimruutude mõttes, on üheselt lahenduv.

Näide 6.7.2. Leiame süsteemi

lahendi vähimruutude mõttes QR-meetodil. Kasutades paketti ''Maple'', saame süsteemimaatriksi QR-lahutuse:

Sellest lahutusest selgub, et

Vektori saamiseks leiame, et

Seega,

Süsteemi konkreetseks kujuks saame

millest järeldub, et

Näide 6.7.3.^* Leiame võrrandisüsteemi

lahendi vähimruutude mõttes.
Näites 2.3.3 on leitud süsteemimaatriksi QR-lahutus

Jättes ära maatriksi R viimase nullidest koosneva rea, saame, et

Leiame, et

Võttes saadud vektori kaks esimest komponenti (maatriksi R₁ ridade arv on 2), saame, et

Lähtesüsteemi lahendi vähimruutude mõttes leiame süsteemist st

Ülesanne 6.7.1.^* Lahendage võrrandisüsteem

teades süsteemimaatriksi QR-lahutust:

Ülesanne 6.7.2.^* Leidke süsteemi

lahend vähimruutude mõttes.