Peatüki algus: Maatriksid
Eelmine: Maatriksid
Järgmine: Lintmaatriksid ja blokkmaatriksid

Kõigi reaalsete elementidega maatriksite vektorruumi tähistatakse ja

Maatriksi A elementi, mis paikneb i-ndas reas ja k-ndas veerus, tähistatakse a_ik või A(i,k) või [A]_ik. Põhilised operatsioonid maatriksitega on järgmised:

• maatriksi transponeerimine
  
  
• maatriksite liitmine
  
  
• maatriksi korrutamine arvuga
  
  
• maatriksite korrutamine
  
  

Ülesanne 2.1.1.^* Olgu

Leidke maatriks AB.

Ülesanne 2.1.2.^* Olgu

Leidke maatriks A^n-1.

Ülesanne 2.1.3.^* Olgu

Tõestage, et

Näide 2.1.1.^* Näitame, et maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne.
Olgu

Leiame korrutised:



Kuna antud näite korral siis üldjuhul maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne.

Lause 2.1.1. Kui ja siis

Tõestus. Kui C=(AB)^T, siis

Teisalt, kui D=B^TA^T, siis

Definitsioon 2.1.1. Maatriksit nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A^T=A ja kaldsümmeetriliseks maatriksiks, kui A^T =-A.

Ülesanne 2.1.4.^* Kas maatriks A on sümmeetriline maatriks või kaldsümmeetriline maatriks, kui

Lause 2.1.2. Suvaline maatriks on esitatav sümmeetrilise maatriksi ja kaldsümmeetrilise maatriksi summana.

Tõestus. Suvaline maatriks on esitatav kujul A=B+C, kus B=(A+A^T)/2 ja C=(A-A^T)/2. Kuna

ja

siis lause väide peab paika.

Ülesanne 2.1.5.^* Esitage maatriks

sümmeetrilise maatriksi ja kaldsümmeetrilise maatriksi summana.

Definitsioon 2.1.2. Kui A on kompleksarvuliste elementidega maatriks, st siis maatriksi A transponeeritud kaasmaatriks A^H defineeritakse seosega

Definitsioon 2.1.3. Maatriksit nimetatakse Hermite'i maatriksiks, kui

Ülesanne 2.1.6.^* Kas maatriks A on Hermite'i maatriks, kui

Ülesanne 2.1.7. ^* Olgu Näidake, et maatriksid AA^H ja A^HA on Hermite'i maatriksid.

Maatriksit on võimalik esitada nii maatriksi A veeruvektorite abil kui ka maatriksi A transponeeritud reavektorite ) abil (''kleepides'' maatriksi kokku vastavalt veeruvektoreist või transponeeritud reavektoreist)

kusjuures ja ning

Näide 2.1.1. Illustreerime neid mõisteid järgmise maatriksi abil

Kui siis A(i,:) tähistab maatriksi A -ndat rida, st

ja k-ndat veergu, st

Kui siis

ja kui siis

Kui ja ning kusjuures

siis vastav osamaatriks on

Näide 2.1.2. Kui

ja ja siis